Вопрос от посетителя:
1)Докажите, что уравнение x^2+bx+c=0 имеет 2 различных действительных корня, если 0.25+с<0.5b
2)Найдите наименьшее значение выражения
кор(x^2-4x+2y+y^2+5)+кор(x^2+4x+y^2-6у+13)
3)Пусть x1 и x2 – корни уравнения x(2x-3)=1. Найдите (в степени -1*)
Илюха отвечает:
1) 0,25 + c <0,5b 4c< 2b-1 (1)
D = b^2 -4c >0
b^2 > 4c
Если мы теперь заменим 4с на выражение заведомо большее, а именно (2b-1), и докажем что неравенство для дискриминанта верно для любого b, то задача будет доказана.
b^2 > 2b-1
(b-1)^2 >0 Вообще то (b-1)^2>=0. Но для неравенства b^2 > 4c знак уже будет строго больше для любого b. Значит при соблюдении условия (1) дискриминант положителен. То есть уравнение имеет два различных действительных корня. Ч.Т.Д
2)кор(x^2-4x+2y+y^2+5)+кор(x^2+4x+y^2-6у+13) = кор[(x-2)^2 + (y+1)^2] +
+ кор[(x+2)^2 + (y-3)^2].
Под корнями стоят заведомо неотрицательные числа. И приравняв 0 подкоренные выражения, получим две точки: (2; -1) и (-2; 3). Проверим значение выражения в этих точках и выберем минимальное:
Z(2; -1) = 4кор2.
Z(-2; 3) = 4кор2
Ответ: 4кор2 (если строго, то надо считать частные производные ф-ии Z(x,y), приравнивать их нулю и исследовать критические точки. Данное решение – чисто на интуитивном уровне. Ответ может быть другим.)
3) 2x^2 – 3x – 1 = 0 x^2 – 3x/2 – 1/2 = 0 x1x2 = -1/2, x1+x2 = 3/2
Преобразуем искомое выражение:
(x1^2 + x1^3 + x2^2 + x2^3) / (1+x1+x2+x1x2) = ((x1^3 + x2^3) +((x1+x2)^2-
– 2x1x2))/(1+x1+x2+x1x2) = ((x1+x2)(x1^2 – x1x2 + x2^2) + (9/4 + 1))/(1+3/2 -1/2) = ((3/2)((x1+x2)^2 -3x1x2) + 13/4) /2 = ((3/2)(9/4 + 3/2) + 13/4) /2 = 71/16
Ответ: 71/16