Вопрос от посетителя:
точка пересечения диагоналей параллелограмма удалена от его сторон на 1,5 корней из 3 и 2,5 корней из 3.Площпдб параллелограмма равна 30 корней из 3.Найдите большую диагональ параллелограмма
Илюха отвечает:
Пусть О – точка пересечения диагоналей
ОК=1,5 корней (3)
ОР=2,5 корней (3)
К лежит на стороне ВС, Р лежит на стороне АВ
ОК, и ОР равны половинам соотвественных высот паралеллограмма (так как они перпендикуляры и опущенны с точки пересечения диагоналей параллелограмма)
Пусть a, b – стороны параллелограмма
Тогда
S=a*2*OP=2*2,5 корень (3)a=30 корень(3)
S=b*2*OK=2*1,5 корень (3)b=30 корень(3)
откуда a=6, b=10
Площадь параллелограмма равна произведению сторон на синус угла между ними
S=ab*sin(ABC)
откуда sin(ABC)=30*корень(3) (6*10)=корень(3)2
значит угол В равен или 60 градусов(тогда угол А равен 120), или 120 градусов(тогда угол А равен 60 градусов)
тогда по теореме косинусов
одна диагональ равна корень(a^2+b^2-2ab*cos 60)=
=(6^2+10^2-2*6*10*12)=корень(76) (меньшая диагональ)
другая равна корень (а^2+b^2-2ab*cos 120)=
=(6^2+10^2+2*6*10*12)=корень(196)=14 (большая диагональ)
ответ: 14