Вопрос от посетителя:
Доказать, что трехчлен ах2 +bx+c
принимает целые значения при любом целом значении х тогда и только тогда, когда 2а, а+b, c– целые числа. Сформулируйте, какое может быть аналогичное условие для ах3+bx2+c+d
Илюха отвечает:
Решение: Пусть трехчлен ах2 +bx+c
принимает целые значения при любом целом значении х тогда
целым будет f(0)=a*0^2+b*0+c=c , значит с – должно быть целым
целым будет f(1)=a*1^2+b*1+c=a+b+c – должно быть целым
целым будет f(0)=a*(-1)^2+b*(-1)+c=a-b+c – должно быть целым
а значит целыми будут и числа
a+b=(a+b+c)-c
a-b=(a-b+c)-c
2а=(a+b)+(a-b)
Пусть 2а, а+b, c– целые числа. Докажем, что тогда при любом целом значении х трехчлен ах2 +bx+c принимает целые значения
с – целое, значит осталось доказать, что для любого целого х:ax^2+bx=ах^2 +bx+c-с – целое
так как ax^2+bx=x*(ax+b) и х – целое то нужно доказать, что
целым является ах+в
ax+b=ax+bx-bx+b=(a+b)x-b(x-1) – целое, потому что х-1 – целое(так как х целое), b – целое, х -целое, a+b – целое, произведение и разница целых чисел явлтся целым числом
Доказано в обе стороны
Признак для кубического многочлена
Учитывая доказательство выше и то что
ах3+bx2+cх+d=(ах2 +bx+c)x+d
то ах3+bx2+cх+d принимает целые значения при любом целом х тогда итолько тогда, когда 2а, а+b, c,d – целые числа
з.і. вроде так*)