Вопрос пользователя:
Две стороны остроугольного треугольника равны 13 см и 15 см. Высота, проведенная к третьей стороне, равна 12 см. Найдите радиусы вписанной и описанной окружностей треугольника
Илюха отвечает:
Я много раз тут приводил способы решения задач, связанных с этим треугольником. Поэтому размещаю тут (автору я уже писал в личку :)) “оригинальное”, позволяющее вчислить все величины устно :))
Треугольник составлен из двух Пифагоровых треугольников (5,12,13) и (9,12,15), приставленных друг к другу катетами 12. Получается треугольник (13,14,15).
Этого достаточно, для того, чтобы без затруднений устно сосчитать радиусы – по известым формулам:))
Для начала найдем площадь треугольника S = 12*14/2 = 84.
Периметр P = 13 + 14 + 15 = 42;
Радиус вписанной окружности r = 2*S/P = 4.
Радиус описанной окружности
R =a*b*c/(4*S) = 13*14*15/(4*12*14/2) = 13*15/24 = 65/8 = 8,125
Хорошей дополнительной проверкой может служить вот что – в треугольниках, “не слишком сильно отличающихся” от правильного, R должно быть близко к 2*r. (критерий этого “не слишком” нам не важен – это же не строгое утверждение, а метод прикидочной проверки результата). В этом треугольнике R – 2*r = 1/8.