Вопрос от посетителя
две окружности касаются друг друга в точке К . Продолжение хорды АВ первой окружности касается второй окружности в точке М . Найдите АК , если ВК = 12 , АМ = 24 , ВМ = 18 .
Отвечает Илюха:
Как всегда в таких случаях, все решает подобие, которое вылезает в самом неожиданном месте.
СМ ЧЕРТЕЖ.
Прямая КN перпендикулярна отрезку, соединяющему центры. Само собой, это общая касательная в точке К.
В данном случае подобны треугольники KBN и AKN – у них есть общий угол KNA, а углы KAB и BKN измеряются половиной дуги КВ, то есть тоже равны.
АК/KB = KN/NB = AN/KN;
Кроме того, KN = NM по свойству касательной. Вобщем то уже все решено, осталось вычислить.
Обозначим для краткости записи АК = а; KN = MN = x; BN = y;
Учтем, что КВ = 12; MB = x + y = 18; AN = 24 – 18 + y = 6 + y;
Получаем
a/12 = x/y = (6 + y)/x; x + y = 18;
подставляем y = 18 – x во второе равенство, получаем уравнение для х, решив, подставляем в первое, находим а 🙂
x/(18 – x) = (24 – x)/x; это даже не квадратное уравнение, получаем
24*18 = (24 + 18)*x; x = 72/7;
a/12 = (24 – x)/x = (24/x – 1) = 7/3 – 1 = 4/3;
a = 16;