Вопрос от посетителя
В основании пирамиды лежит треугольник со сторонами 15 см,16см и 17 см. Найдите площадь полной поверхности пирамиды, если двугранные углы при основании пирамиды равны 60 градусов
Отвечает Илюха:
Площадь основания считается по формуле Герона: a = 15; b = 16; c = 17;
p = (a + b + c)/2 = 24; p – a = 9; p – b = 8; p – c = 7;
S = корень(24*9*8*7) = 24*корень(21);
Площадь боковой поверхности в данном случае проще всего сосчитать по формуле
Sбок = S/cos(60) = 48*корень(21); площадь полной поверхности 72*корень(21).
Если надо –
доказать формулу Sбок*cos(Ф) = S, если все грани наклонены под одним углом, просто, если представить площадь основания как сумму площадей проекций боковых граней. Ясно, что у каждой боковой грани в качестве проекции – треугольник, у которого общее с гранью основание – это ребро основания пирамиды, а отношение высот как раз равно cos(Ф). Кроме того, при равных углах наклона боковых граней вершина пирамиды проектируется в центр вписанной окружности, поскольку эта проекция будет равноудалена от сторон оснований. Это означает, что все АПОФЕМЫ равны. И – само собой, доказывает необходимую формулу – достаточно просто сложить площади всех проекций боковых граней.