Вопрос пользователя:
5sin^2x+5sinxcosx=3
И
sinx+cosx=корень из 2*sin5x
Илюха отвечает:
1) 5sin^2 x + 5sin x*cos x = 3sin^2 x + 3 cos^2 x
2sin^2 x + 5sin x*cos x – 3cos^2 x = 0
Делим все на cos^2 x =/= 0
2tg^2 x + 5tg x – 3 = 0
Квадратное уравнение относительно tg x.
D = 5^2 – 4*2(-3) = 25 + 24 = 49 = 7^2
tg x1 = (-5 – 7)/4 = -3; x1 = -arctg 3 + pi*k
tg x2 = (-5 + 7)/4 = 1/2; x2 = arctg(1/2) + pi*n
2) sin x + cos x = кор(2)*sin 5x
Преобразуем левую часть
sin x + cos x = кор(2)*(sin x*1/кор(2) + cos x*1/кор(2)) =
= кор(2)*(sin x*cos(pi/4) + cos x*sin(pi/4)) = кор(2)*sin(x + pi/4)
Получаем
кор(2)*sin(x + pi/4) = кор(2)*sin 5x
sin(x + pi/4) =
sin 5x
Возможны два случая
1) sin a = sin (a + 2pi*k)
5x = x + pi/4 + 2pi*k
4x = pi/4 + 2pi*k
x = pi/16 + pi/2*k
2) sin a = sin (pi – a + 2pi*n)
5x = pi – x – pi/4 + 2pi*n
6x = 3pi/4 + 2pi*n
x = pi/8 + pi/3*n