Вопрос пользователя:
16. Докажите, что в произвольном выпуклом четырёхугольнике
сумма диагоналей меньше периметраэтог о четырёхугольникаи боль-
ше его полупериметра.
Илюха отвечает:
Пусть дан произвольный выпуклый четырехугольник АВСК. Периметр четырехугольника это сумма всех его сторон.
Нужно доказать, что (АВ+ВС+СК+АК)/2 < АС+ВК < АВ+ВС+СК+АК
Учитывая неравенство треугольника
AC<AB+BC, BK<BC+CK
сложив которые
получим, что
АС+ВК<АВ+ВС+СК+АК
Пусть О – точка пересечения диагоналей(они пересекаются так как четырехугольник выпуклый)
Снова используя неравенства треугольника
АB<AO+BO, BC<BO+CO, CK<CO+KO, AK<AO+KO
сложив которые
AB+BC+CK+AK<2*(AO+OC+BO+KO)
или тто же самое что
AB+BC+CK+AK<2*(AC+BK)
или
(АВ+ВС+СК+АК)/2<АС+ВК
таким образом доказана вторая часть требуемого.
Доказано