1. Найти сумму ряда: 3-1/3+3/2-1/6+3/4-1/12+... 2. Исследовать сходимость рядов на основании необходимого и достаточных признаков: а) б) в) г) 3. Определить тип уравнения и найти его частное решение: y(2)=1

Вопрос от посетителя:

1. Найти сумму ряда:

3-1/3+3/2-1/6+3/4-1/12+…

2. Исследовать сходимость рядов на основании необходимого и достаточных признаков:

а) $sum_{n=1}^{infty}sinfrac{1}{n^2}$

б) $sum_{n=1}^{infty}frac{1}{sqrt[]{n(n+1)}$

в) $sum_{n=1}^{infty}frac{e^{n+1}}{{n!}$

г) $sum_{n=1}^{infty}frac{(n+1)^{n}}{{n!}$

3. Определить тип уравнения и найти его частное решение:

$x^{2}(y+1)dx+(x^{3}-1)(y-1)dy=0$

y(2)=1

1. Сумма ряда состоит из разности сумм двух беконечно убывающих геометр. прогрессий:

3 + 3/2 + 3/4 +…. b1 = 3, q = 1/2 S1 = b1/(1-q) = 6

1/3 + 1/6 + 1/12 + ….b1 = 1/3, q = 1/2 S2 = b1/(1-q) = 2/3

S = S1 – S2 = 6 – 2/3 = 16/3.

Ответ: 16/3.

а) ряд расходится, так как не выполнено необходимое условие сходимости.

an не стремится к 0 при n стремящемся к бесконечности.

б) Воспользуемся признаком сравнения:

1/кор[n(n+1)] больше 1/(n+1) И так как гармонический ряд с аn = 1/(n+1) – расходится, то и расходится заданный ряд.

в) По признаку Даламбера

$lim_{n to infty}frac{a_{n+1}}{a_n} = lim_{n to infty} frac{e}{n+1}=0$

Ряд сходится.

г) Проверим необходимое условие:

$lim_{n to infty} frac{(n+1)^n}{n!}=infty$

Следовательно ряд расходится.

3. Линейное уравнение в полных дифференциалах. Решается методом разделения переменных и последующего интегрирования:

$frac{x^2dx}{x^3-1}=-frac{(y-1)dy}{y+1}. frac{1}{3}ln(x^3-1) = 2ln(y+1)-y+C$

Или:

$ln(x^3-1) = 6ln(y+1)-3y+C$

Это решение в виде функции заданной в неявном виде. Найдем С из начального условия:

у(2)=1

$C = ln7-6ln2+3.$

Тогда ответ:

$ln(x^3-1)=6lny-3y+(ln7-6ln2+3)$