Вопрос от посетителя
Через точку D, лежащую на радиусе ОА окружности с центром О, проведена хорда ВС, перпендикулярна к ОА, а через точку В проведена касательная к окружности, пересекающая прямую ОА в точке Е. Докажите, что луч ВА-биссектриса угла СВЕ.
Отвечает Илюха:
Через точку D, лежащую на радиусе ОА окружности с центром О, проведена хорда ВС, перпендикулярная к ОА, а через точку В проведена касательная к опружности, пересекающая прямую ОА в точкп Е. Докажите, что луч ВА – биссектриса угла СВЕ.
Величина угла, образованного касательной и хордой, проходящей через точку касания, равна половине величины дуги, заключённой между его сторонами.
Угол АВЕ образован касательной ВЕ и хордой ВА ⇒
угол АВЕ равен половине величины дуги АВ.
Соединив О с В и С, получим равнобедренный треугольник ВОС ( образован радиусами)
Радиус ОА перпендикулярен ВС по условию и является высотой треугольника ВОС, а т.к. треугольник равнобедренный, то и биссектрисой угла ВОС; след,
∠АОС=∠АОВ, следовательно, и дуги ВА и АС, на которые опираются центральные углы АОВ и АОС, равны
Угол АВС – вписанный.
Вписанный угол, опирающийся на ту же дугу, что центральный, равен половине его величины (половине величины дуги. на которую он опирается)
Угол АВС опирается на ту же дугу, что центральный ∠АОС и равен половине величины этой дуги.
Но угол АОВ опирается на дугу той же величины ( центральные углы ВОА и АОС равны, и дуги, на которые они опираются, тоже равны),
т.е.∪АВ = ∪ АС
Т.к. углы АВЕ и АВС равны половине равных дуг, ⇒ эти углы равны.
Следовательно, луч ВА, делящий угол СВЕ на два равных, – биссектриса этого угла, ч.т.д.