Вопрос пользователя:
треугольник АВС вписан в окружность с центром в точкеО.Угол А равен28 градусов,угол С равен 22градуса.угол АОС-?
Илюха отвечает:
Во-первых, сразу вычислю третий угол треугольника АВС. Это легко, ведь сумма углов треуголника всегда 180 градусов.
Итак: угол В = 180-22-28=130 (град).
Понятно теперь, что треугольник АВС тупоугольный и, значит, центр О описывающей его окружности не внутри треугольника, а вне его.
Стоит ли это объяснять? Ну, на всякий случай скажу, что это очевидно вот почему: гипотенуза прямоугольного треугольника всегда проходит через центр описывающей его окружности.Это точно проходят в школе!
(Теперь легко представить вот что:
– Если прямой угол такого (вписанного в круг) треугольника начать уменьшать, то центр кружности окажется внутри треугольника. Так со всеми остроугольными треуголниками получается.
– Если же прямой угол увеличивать, то центр кружности окажется за пределами треугольника. Это касается всех тупоугольних треуголников.)
Дальше же вот из чего буду исходить:
Известно, что “Любой угол, касающийся окружности, используя хорду как ограничение угла, равен половине угла в центре”.
Т.е. если провести лучи из центра окружности (О) в точки пересечения хорды и этой окружности (в нашем случае это точки А и С), получится угол ровно в два раза больший, чем тот, лучи которого будут проходить через те же точки А и С, но исходить из точки, лежащей на окружности. Назовем ее D.
АОC=2ADC
Внимание! Это касается только случаев, когда точка D и центр окружности О лежат по одну сторону от хорды!
Это точно в школе проходят.
То есть, знай мы ADC – и ответ на задачку у нас в кармане!
В нашем случае нет пока точки D, но у нас есть точка В! И это прекрасная возможность поставить точку D так, что мы с легкостью вычислим угол ADC!!
Нет ничего проще: Порводим прямую ВО – она пересечет нашу окружность как раз там, где нам нужно. Это и будет необходимая D. (Назовем точку пересечения D.)
Соединим отрезками точки D и A, D и C.
Теперь посчитаем величину угла ADC. Для этого рассмотрим два получившихся треугольника DAC и DСВ и четырехуголник DABС.
Треугольники прямоугольные. (Мы это уже обсуждали в начале – ведь гипотенуза каждого из них проходит через центр описывающей их окружности)
Значит углы DAВ и DСВ прямые.
Получается, в четырехуголнике DAВС мы знаем три угла из четырех:
– углы А (DAВ) и С (DСВ ) прямые,
– угол В равен 130 градусов (мы это высчитали в самом начале, для треугольника АВС)
Ну, а что сумма углов выпуклого четырехугольника равна 360 градусов – это точно в школе проходят! (Да и сообразить легко – ведь такую фигуру всегда можно разбить диагональю на два треугольника. А в каждом треугольнике 180!)
значит АDС равен 360-90-90-130=50 градусов! (довольно забавно: этот угол, оказывается, равен сумме углов А и С треугольника АВС!)
Ну, и теперь только удвоить это число – и получим ответ:
Помните? АОC=2ADC
Т.е. угол АОС равен удвоенному АDС
АОС= 50х2= 100 градусов.
Итак все окаалось просто:
1) проводим прямую через В и О, точку пересечения ее с окружностью обозначаем D.
2) Определяем углы четырехугольника DABС
3) удваиваем величину угла АDС = это и есть искомая величина!
Ура!))