Вопрос от посетителя:
Решить в целых числах уравнение 1!+2!+3!+4!+…+х!=у^2
Илюха отвечает:
Я буду рассуждать следующим образом:
1. Корни, которые видно сразу:
x=0, y=1 (т.к. 0!=1 по определению факториала)
x=0, y=-1
x=1, y=1
x=1, y=-1
Факториала из отрицательного числа не существует, следовательно, все x >=0.
2. Других корней нет, так как и левая, и правая части возрастают
Рассмотрим f(x)=x! и g(x)=y^2
g(x) – это парабола, наклоненная на 90 градусов, т.е. ветви направлены вправо.
f(x)=x!~x^x*ln(x) по ф-ле Стирлинга, т.е. возрастает быстрее любой степенной функции, т.е. заведомо быстрее чем y^2. Это можно доказать, рассмотрев производные этих функций, либо просто на графике показать. Следовательно, точек пересечения графики этих функций кроме вышеназванных не имеют.
Функция же f1(x)=1!+2!+…+x! возрастает ещё быстрее, чем x!, следовательно, других корней у этого уравнения нет.