решите уровнение 2sin4x+cos4x=1

Вопрос пользователя:

2*2sin2xcos2x + cos²2x – sin²2x = 1

4*2sinxcosx(cos²x – sin²x) + (cos²x – sin²x)² – (2sinxcosx)² = 1

8sinxcos³x – 8sin³xcosx + cos⁴x – 2sin²xcos²x + sin⁴x – 4sin²xcos²x = 1

8sinxcos³x – 8sin³xcosx + cos⁴x + sin⁴x – 6sin²xcos²x = 1

Оставим пока это уравнение, попробуем выразить cos⁴x + sin⁴x через основное тригонометрическое тождество:

sin²x + cos²x = 1

Возведем в квадрат:

(sin²x + cos²x)² = 1²

sin⁴x + 2sin²xcos²x + cos⁴x = 1

cos⁴x + sin⁴x = 1 – 2sin²xcos²x

Подставим это в наше уравнение:

8sinxcos³x – 8sin³xcosx + 1 – 2sin²xcos²x – 6sin²xcos²x = 1

Единицы сократятся:

8sinxcos³x – 8sin³xcosx – 8sin²xcos²x = 0

вынесем 8sinxcosx

8sinxcosx(cos²x – sin²x – sinxcosx) = 0

1) 8sinxcosx = 0 свернем по формуле синуса двойного угла: 4sin2x = 0 sin2x = 0 2x = πk x = πk/2, k ∈ Z

2) cos²x – sin²x – sinxcosx = 0 свернем по формуле косинуса двойного угла: cos2x – sinxcosx = 0

домножим на 2 и свернем второе выражение по формуле синуса двойного угла:

2cos2x – sin2x = 0

2cos2x = sin2x поделим на cos2x; cos2x ≠ 0

2 = sin2x/cos2x

tg2x = 2

2x = arctg2 + πk

x = (arctg2)/2 + πk/2; k ∈ Z

Ответ: πk/2; (arctg2)/2 + πk/2; k ∈ Z