Вопрос от посетителя:
Радиусы вписанной и описанной окружностей прямоугольного треугольника равны соответственно 2 и 5. Найти длины катетов этого треугольника
Илюха отвечает:
Радиус вписанной в прямоугольной треугольник окружности равен r=(a+b-c)2
Радиус описанной вокруг прямоугольного треугольника окружности равен R=c2
где a, b-катеты, c – гипотенуза
отсюда с=2*5=10
a+b=2*2+10=14
По теореме Пифагора a^2+b^2=c^2
a^2+b^2=10^2=100
a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=100
14^2-2ab=100
2ab=196-100=96
ab=96:2=48
a+b=14
ab=48
(6+8=14; 6*8=48)
по теореме обратной к теореме Виета
a=6 b=8 или a=8, b=6
ответ: длины катетов 6 и 8