Вопрос от посетителя
Равносторонний треугольник поворачивают относительно центра на 3 градуса потом на 9 градусов, на 27 градусов, и т.д. (на n-м шаге его поворачивают на 3 в степени n градусов). Сколько всего разных положений будет занимать треугольник? (А) 360, (Б) 6, (В) 5, (Г) 4, (Д) 3.
Отвечает Илюха:
Составим следующую таблицу:
Степень n Угол поворота α = 3^n (mod 360)
1 3
2 9
3 27
4 81
5 243
6 9
7 27
8 81
9 243
10 9
11 27
12 81
13 243
14 9
…
Легко заметить, что значения α периодичны начиная с n = 2. Период длины 4 состоит из повторяющихся значений (9,27,81,243). Периодичность α можно доказать и строго (например, методом математической индукции).
Таким образом, мы имеем всего 5 различных значений для угла поворота α: 3,9,27,81,243
Равносторонний треугольник переходит сам в себя при поворотах относительно центра на угол β = Ω + 120k, где k=1,2,3,4,… Такие повороты β неотличимы от Ω, и должны считаться одинаковыми.
Проверяем и убеждаемся, что 5 различных значений α есть два (а именно, 3 и 243 = 120*2 + 3), которые должны считаться одинаковыми. Оставим из этих двух значений одно (а именно, 3).
Итак, у нас остается всего 4 различных значений α: 3,9,27,81
Следовательно, наши 4 значения для угла поворота α переводят равносторонний треугольник в различные положения.
Ответ: (Г) 4.