Вопрос пользователя:
Помогите решить:
Найдите наименьшее и наибольшее значения функции:
a) y=-2x^3 + 36x^2 – 66x + 1 на отрезке [-2;2]
б) y=1/2 cos2x + sinx на отрезке [0;п/2]
Илюха отвечает:
РЕШЕНИЕ
Экстремумы находим по корням первой производной.
1.
Y(x) = -2*x³ + 36*x² – 66*x+1 – функция
Y'(x) = – 6*x² + 72*x – 66 – первая производная.
Находим корни – решаем – D = 3600, x1 = 1, x2 = 11.
Делаем вывод – в области определения только один корень.
Вычисляем при Х = 1.
Ymin(1) = -2+36-66+1 = – 31 – минимум – ОТВЕТ
Функция с отрицательным коэффициентом при Х³ – убывает.
Значит максимум на границе – при Х = – 2
Вычисляем при Х = – 2
Ymax(-2) = 16+144+132+1 = 293 – максимум – ОТВЕТ
Рисунок к задаче в приложении.
2.
D(x) = [0;π/2] – область определения
Y(x) = sin(X) + 1/2*cos(X) – функция.
График функции – в приложении.
Y'(x) = cos(X) – sin(2*x) – производная.
Решаем уравнение
cos(x) – 2*sin(x)*cos(x) = 0
cos(x)*(1 – 2*sin(x)) = 0
x1 = π/6, x2 = 0.
Минимум при Х=0, Ymin(0) = 0.5 – ОТВЕТ
Максимум при Х = π/6 = 30°, Ymax(π/6) = 0.75 – ОТВЕТ