Вопрос пользователя:
Помогите бедному студенту)
Имеются 2 цилиндра: алюминиевый (сплошной) и свинцовый (полый) тонкий (m=0,5 кг) одинакового радиуса R=6,0 см и одинаковой массы. За какое время каждый цилиндр скатится без скольжения с наклонной плоскости? Высота наклонной плоскости h=0,50 м, угол наклона плоскости а =30. Начальная скорость каждого цилиндра равна нулю.
Илюха отвечает:
Будем считать, что сила трения качения пренебрежимо мала, а также пренебрежем сопротивлением воздуха. Тогда для обоих случаев должен выполняться закон сохранения полной механической энергии.
1) Таким образом в обоих случаях цилиндры движутся под действием составляющей силы тяжести параллельной наклонной плоскости. Из второго закона Ньютона получим:
, отсюда
=g*sinalpha” title=”a=g*sinalpha” alt=”a=g*sinalpha” />——–(1)
где – ускорение поступательного движения цилиндра.
С другой стороны ускорение равно:
=frac{v-v_{o}}{t}=frac{v}{t}” title=”a=frac{v-v_{o}}{t}=frac{v}{t}” alt=”a=frac{v-v_{o}}{t}=frac{v}{t}” />——-(2)
где – начальная скорость (по условию)
– скорость цилиндра через промежуток времени
, когда он коснется первый раз горизонтали.
Из (1) и (2) найдем искомое время :
———(3)
2) Конечную скорость найдем с помощью закона сохранения механической энергии:
——(4)
——(5)
где – момент инерции цилиндра относительно его оси симметрии;
——–(6)
– угловая скорость вращения цилиндра
Подставим в (4) вместо и
выражения (5) и (6), получим после сокращения:
, отсюда
———-(7)
Подставим в (3) вместо выражение (7), получим расчетную формулу для искомого времени:
Расчет времени:
а) Для сплошного цилиндра, для которого :
с
б) Для тонкостенного цилиндра, для которого :