Вопрос от посетителя:
Отношение радиусов описанной и вписанной окружностей в прямоугольном треугольнике равно 13/4, один из катетов равен а. Найти другой катет и площадь треугольника.
Илюха отвечает:
В прямоугольном треугольнике
R = c/2 r = (a + b – c)/2
R + r = (a + b)/2
Тогда (a + b)/c = (R + r)/R = 17/13
Пусть гипотенуза треугольника равна С, а один из катетов равен Х.
Тогда второй катет равен 17/13 * C – Х. Согласно теореме Пифагора
Х² + (17/13 * C – X)² = C²
X² + 289/169 * C² – 34/13 * C * X + X² = C²
X² – 17/13 * C * X + 60/169 = 0
X₁ = 5/13 * C X₂ = 12/13 * C
Следовательно, если больший катет равен а, то меньший катет равен а/2,4 = 5*a/12, а площадь треугольника S = a * (5*a/12) / 2 = 5 * a² / 24 .
Если же меньший катет равен а, то больший катет равен a * 12/5 = 2,4 * a а площадь треугольника S = a * 2,4 * a / 2 = 1,2 * a².