Вопрос пользователя:
окружность радиуса 1 см, вписанная в равнобедренный треугольник, касается его средней линии. найти площадь треугольника.
Илюха отвечает:
Расстояние между параллельными прямыми равно диаметру окружности, которая их обеих касается. Поэтому расстояние от основания до средней линии равно 2, а высота треугольника, соответственно, равна H = 4.
Если из центра вписаной окружности опустить перпендикуляр на боковую сторону, то получится прямоугольный треугольник с катетом r = 1 и гипотенузой H – r = 4 – 1 = 3 (ясно, что центр лежит на высоте к основанию на расстоянии r = 1 от основания). Таким образом, если обозначить Ф угол при основании треугольника, то
cos(Ф) = 1/3. (угол между боковой стороной и высотой к основанию равен 90 – Ф)
Легко найти sin(Ф) = корень(1 – 1/9) = 2*корень(2)/3,
сtg(Ф) = 1/(2*корень(2)) = корень(2)/4;
Половина основания равна b/2 = H*ctg(Ф) = корень(2);
Площадь треугольника H*b/2 = 4*корень(2);