Вопрос пользователя:
Около шара с радиусом r описан конус, образующая которого наклонена к плоскости основания под углом α. Найдите площадь осевого сечения конуса, r=2м, α=50˚
Илюха отвечает:
Осевое сечение конуса проходит через центр шара.
На рисунке ΔАВС – осевое сечение конуса, ВН – высота конуса, О – центр шара.
ОН = r – радиус шара.
Центр вписанной окружности – О – точка пересечения биссектрис.
СО – биссектриса, ⇒
∠ВСО = ∠НСО = α/2
ΔОНС: ∠ОНС = 90°,
tg ∠HCO = OH/HC
tg α/2 = 2/HC
HC = 2 / tg α/2 = 2 · ctgα/2
AC = 2HC = 4 · ctg α/2
ΔBCH: ∠BHC= 90°,
tg∠BCH = BH/HC
tg α = BH / (2·ctg α/2)
BH = 2 · ctg α/2 · tg α
Sсеч = 1/2 · AC · BH = 1/2 · 4 · ctg α/2 ·2 · ctg α/2 · tg α
Sсеч = 4 · ctg²α/2 · tgα = 4 · ctg²α/2 · 2tgα/2 / (1 – tg²α/2)
Sсеч = 8 · ctg α/2 / (1 – tg²α/2)
α = 50°, α/2 = 25°
Sсеч = 8 · ctg 25° / (1 – tg²25°) ≈ 21,5 м²