Вопрос пользователя:
Около треугольника ABC описана окружность. Медиана треугольника AM продлена до пересечения с окружностью в точке К. Найдите сторону АС, если АМ=18, МК=8, ВК=10.
Илюха отвечает:
Сделаем рисунок.
Треугольник АВС вписан в окружность, соответственно, его углы и углы образовавшиеся при пересечении дополнительных отрезков с окружностью – вписанные.
Рассмотрим треугольники АМС и ВМК.
Углы ВКМ и ВСА опираются на одну и ту же дугу окружности ⇒ они равны.
Углы КВС и КАС опираются на одну и ту же дугу окружности ⇒ они равны.
Углы этих треугольников при М – равны как вертикальные.
Если углы одного треугольника равны углам другого треугольника – эти треугольники подобны.
ВМ:АМ=МК:МС
АМ – медиана, ⇒ВМ=МС
Заменим в предыдущем равенстве ВМ на МС:
МС:АМ=МК:МС
МС:18=8:МС
МС²=18*8=144
МС=12
Из того же подобия треугольников АМС и ВМК
ВК:АС=МК:МС
10:АС=8:12
8*АС=120
АС=15