Вопрос от посетителя:
найти все значения параметра “а”, при которых все решения неравенства (x-2)/(x-5)<0 удовлетворяют неравенству x^2+(4-a)x-4a+4>0
Илюха отвечает:
решением неравенства (x-2)/(x-5)<0 являются все х из промежутка (2;5)
оно равносильно неравенству x^2-7x+10<0, или
-x^2+7x-10>0
x^2+(4-a)x-4a+4>0
график левой части квадратная парабола ветки которой подняты верх
D=(4-a)^2-4*(-4a+4)=16-8a+a^2+16a-16=a^2+8a
отсюда задача
найти все значения параметра “а”, при которых все решения неравенства (x-2)/(x-5)<0 удовлетворяют неравенству x^2+(4-a)x-4a+4>0, равносильна следующей задачи, решить систему неравенств для а:
a^2+8a>0 (дискримант больше 0 – это условие дает два корня)
x1=((a-4)-корень(a^2+8a))2<=2
x2=((a-4)+корень(a^2+8a))2>=5 (эти условия дают принадлежность множетсва решений первого неравенства множеству решений второго, x1<=2<5 Решаем систему a^2+8a>0 (*) a(a+8)>0 a<-8 или a>0 (1) ((a-4)-корень(a^2+8a))2<=2 a-4-корень(a^2+8a)<=4 a-8<=корень(a^2+8a) разбивается на 2 случая 1 случай a<8 a^2+8a>0 откуда учитывая решение (*) а<-8 или 0 2 случай a>=8 a^2+8a>=0 (a-8)^2<=a^2+8a a>=8 a<=-8 или a>=0 a>=-83 ( (a-8)^2<=a^2+8a a^2-16a+64<=a^2+8a -24a<=64 a>=-83), итожа получаем a>=8 итожа первый и второй случай a>=0 (2) ((a-4)+корень(a^2+8a))2>=5 a-4+корень(a^2+8a)>=10 a-14>=-корень(a^2+8a) 14-a<=корень(a^2+8a) разбивается на 2 случая 1 случай 14-a<0 a^2+8a>=0 a>14 a<=-8 или a>=0 a>14 2 случай 14-a>0 a^2+8a>=0 (14-a)^2<=a^2+8a
a<14
a<=-8 или a>=0
a>=499
((14-a)^2<=a^2+8a
196-28a+a^2<=a^2+8a
196<=36a
49<=9a
a>=499), итожа получаем
499<=a<14
итожа первый и второй случай
499<=a (3)
итожа (1), (2), (3), окончательно получаем
a>=499
Овтет: для всех а :a>=499