Вопрос пользователя:
Около квадрата со стороной 2^2 описана окружность которая вписана в правильный треугольник. Найдите площадь треугольника.
Илюха отвечает:
Дано:а=2 сторона квадрата, АВС правильный треугольник.
Найти: Sавс.
Решение:Д диагональ квадрата.
По теореме Пифагора Д^2 = а^2 + а^2
Д=кор.кв.( 2 х а^2) = а х кор.кв.2= 2 х кор.кв.2
Д является диаметром описанной окружности около квадрата.
Следовательно радиус окружности r=1/2 х Д = кор.кв.2
Радиус окружности вписанной в правильный многоугольник находится по формуле:
r = А / (2 х tg(180/n)) , где А сторона многоугольника , n угол многоугольника.
r = А / (2 х tg(180/60)) = А /6 х ( кор.кв.3 )
А = (6 х r) / ( кор.кв.3) = (6 х ( кор.кв.2) ) / ( кор.кв.3)
Sавс = А х H / 2 , H высота правильного треугольника.
По теореме Пифагора А ^2 = (А / 2) ^2 + H^2
H ^2 = А ^2 – (А / 2) ^2 = 3 х А ^2 / 4
H =( кор. кв. 3 х А) / 2
Sавс = А х H / 2 = Sавс =( А / 2) х ( кор. кв. 3 х А) / 2 = ( кор. кв. 3 х А ^2 ) / 4 = (36 х 2 х ( кор. кв. 3 )) /( 3 х 4) = 6 х ( кор. кв. 3 )
Ответ: Sавс = 6 х ( кор. кв. 3 )