Один из катетов прямоугольного треугольника на 3 см больше другого, а гипотенуза 15 см. Найдите катеты.

Вопрос пользователя:

а, b – катеты прямоугольного треугольника

с – гипотенуза прямоугольного треугольника

——————————————————-

а – ? см

b – ?, на 3 cм >

c=15 см

Решение:

$b=a+3$

по теореме Пифагора: $a^{2}+b^{2}=c^{2}$

подставляем все известные данные в формулу

$a^{2}+(a+3)^{2}=15^{2}$

раскрываем скобки

$a^{2}+a^{2}+6a+9=225$

перенесём всё в левую часть и приравняем уравнение к нулю, при этом не забываем сменить знак на противоположный

$a^{2}+a^{2}+6a+9-225=0$

$(a^{2}+a^{2})+6a+(9-225)=0$

$2a^{2}+6a-216=0$

$2(a^{2}+3a-108)=0$

$a^{2}+3a-108=0$

Квадратное уравнение имеет вид: $ax^{2}+bx+c=0$

Cчитаем дискриминант:

$D=b^{2}-4ac=3^{2}-4cdot1cdot(-108)=9+432=441$

Дискриминант положительный

$sqrt{D}=21$

Уравнение имеет два различных корня:

$a_{1}=frac{-3+21}{2cdot1}=frac{18}{2}=9$

$a_{2}=frac{-3-21}{2cdot1}=frac{-24}{2}=-12$

не удовлетворяет условию задачи, так как катет не может быть отрицательным, следовательно

$a=9$

$b=a+3=9+3=12$

Ответ: 9 и 12 – катеты прямоугольного треугольника.

Проверка:

9²+12²=15²

81+144=225

225=225