Найти объём тела, поверхность которого образуется вращением дуги окружности x^2+y^2=25 и прямых 3x-4y=0, x=0, вокруг оси Oy.

Вопрос от посетителя

Отвечает Илюха:

Найдем точки пересечения прямой и окружности:

$left { {{x^2+y^2=25} atop {3x-4y=0}} right.$

$left { {{y=frac{3}{4}x} atop {x^2+frac{9}{16}x^2=25}} right.$

x = +/-4

Найдем точки пересечения дуги окружности и оси ОХ:

$left { {{y=0} atop {x^2+y^2=25}} right.$

x = +/-5

Объем тела вращения будет вычисляться как интеграл в пределах [-5;4] (исходя из рисунка)

$V_y = 2piintlimits^a_b {x*(y_1-y_2)} , dx$

$V_y = 2piintlimits^{4}_{-5} {x(frac{3}{4}x-sqrt{25-x^2})} , dx = 2pi(frac{3}{4}intlimits^{4}_{-5} {x^2} , dx-intlimits^{4}_{-5} {xsqrt{25-x^2}} , dx)$

$intlimits^{4}_{-5} {x^2} , dx = frac{x^3}{3}|_{-5}^4 = frac{4^3}{3} + frac{5^3}{3}=frac{189}{3}$

$intlimits^4_{-5} {xsqrt{25-x^2}} , dx$

Замена:

u = 25-x^2

du = -2xdx

xdx = -0.5du

u1 = 25-x1^2 = 25-25 = 0

u2 = 25-x2^2 = 25-16 = 9

$intlimits^4_{-5} {xsqrt{25-x^2}} , dx = -frac{1}{2}intlimits^9_0 {sqrt{u}} , du = -frac{1}{2}frac{u^{frac{3}{2}}}{frac{3}{2}}|_0^9 = -frac{1}{3}sqrt{u^3}|_0^9 = -frac{1}{3}3^3 = -9$

$V_y = 2pi(frac{3}{4}*frac{189}{3}-(-9)) = 2pi*56.25=112.5pi$

Вопрос от посетителя

Отвечает Илюха:

Добавить свой ответ Отменить ответ