Вопрос от посетителя
найдите площадь трапеции, если её диагонали равны 3 и 5, а отрезок, соединяющий середины оснований равен 2
Отвечает Илюха:
задача решается дополнительным построением, которое полезно запомнить.
пусть трапеция АВСD. АС = 3; ВD = 5; AD и ВС – основания.
Через точку C проводим прямую II BD до пересечения с продолжением AD. Точка пересечения – E. Площадь треугольника ACE равна площади трапеции (у них общая высота и одинаковая средняя линяя, поскольку АЕ = AD + BC.
Отрезок, соединяющий середины оснований, проходит через точку пересечения диагоналей О. Собственно, из подобия АОD и BOC следует, что медианы из точки О в обоих треугольниках составляют одинаковые углы с основаниями, то есть это – одна прямая, соединяющая середины оснований. Треугольник АСЕ тоже подобен АОD и BOC, и поэтому медиана в нем II этому отрезку. А значит, она ему равна (там получился параллелограмм, образованный медианой СМ треугольника ACE, отрезком, соединяющим середины оснований и отрезками оснований) :).
Итак, Площадь треугольника ACE равна площади трапеции, и в АСЕ известны 2 стороны 3 и 5 и медиана 2. Продолжим медиану СМ за её основание М на 2 и соединим полученную точку Р с A и Е. Получим параллелограмм ACEP (потому что диагонали делятся пополам в точке пересечения). Ясно из свойств параллелограма что площадь АСЕ = площадь CPE.
СРЕ – треугольник с заданными сторонами СЕ = BD = 5, PЕ = AC = 3, СР = 2*CM = 4.
Найти его площадь в общем случае можно по формуле Герона, но тут все просто – треугольник СРЕ прямоугольный (это просто следствие того что 9 + 16 = 25), и его площадь S = (1/2)*3*4 = 6.
Удивительно, ввел решение, и увидел, что задачу решили так же как и я :)))) это приятно 🙂