Вопрос пользователя:
куб со стороной а срезан по противоположным углам, так что в сечении получились равные правельные треугольники, в которые вписаны курги, которые является осонованием цилиндра, в который можно вписать шар. Найдите радиус шара
Илюха отвечает:
Условие насчет шара просто задает нам равенство расстояния между сечениями и диаметра окружности, вписанной в треугольники в сечениях. Ясно, что диаметр шара равен диаметру основания цилиндра, но так же ясно, что диаметр шара равен расстоянию между основаниями, раз шар их касается.
Из соображений симметрии понятно и то, что плоскости сечений перпендикулярны большой диагонали куба, соединяющей “отсеченные” вершины (это ОЧЕНЬ просто увидеть, если посмотреть на куб вдоль этой диагонали).
Смысл решения такой.
Находим большую диагональ d = a*корень(3);
далее, пусть сторона треугольника x,
тогда диаметр вписанной окружности D = x/корень(3),
боковая сторона отсеченных правильных треугольных пирамид равна
x/корень(2), её проекция на основание (на плоскость треугольника, это радиус ОПИСАННОЙ вокруг правильного треугольника окружности) равна x/корень(3), отсюда высота пирамиды равна
H^2 = x^2/2 – x^2/3 = x^2/6; H = x/корень(6);
Ну, и получаем соотношение
d – 2*H = D; то есть
a*корень(3) – 2*x/корень(6) = x/корень(3);
а радиус шара равен r = D/2= x/(2*корень(3))
a*корень(3) = 2*r*(корень(2) + 1);
r = (1/2)*a*корень(3)/(корень(2) + 1);
Вроде так :(((