Вопрос от посетителя:
Кто решит эти примеры, тому 40руб на счет мобильного(номер напишите в личку)
Илюха отвечает:
29.1) lim(x->-1) (2x^2+x-1)/(x^2-3x-4)
Разложим числитель и знаменатель на множители получим
lim(x->-1) (2x^2+x-1)/(x^2-3x-4)=lim(x->-1) ((x+1)(2x-1))/((x+1)(x-4))
Сократим числитель и знаменатель на (x+1), получим
lim(x->-1) (2x-1)/(x-4) =(2*(-1)-1)/(-1-4)=-3/-5=3/5
29.2) lim(x->беск) (x^3+4x^2-1)/(x^2-x+5)
Имеем неопределенность беск/беск
В числителе наибольшая степень 3 в знаменателе 2,поэтому и числитель и знаменатель делим на x^3
lim(x->беск) (x^3+4x^2-1)/(x^2-x+5) =
=lim(x->беск) ((x^3/x^3 +4x^2/x^3 -1/x^3)/(x^2/x^3 -x/x^3 +5/x^3)=
=lim(x->беск ((1+4/x-1/x^3)/(1/x-1/x^2 +5/x^3)=1/0 =беск
29.3) lim (x->2) (x^2-x-2)/(sqrt(4x+1)-3)
Имеем неопределенность 0/0
Разложим числитель на множители, а потом и числитель и знаменатель разделим на сопряженное значение знаменателя
lim (x->2) (x^2-x-2)/(sqrt(4x+1)-3)=
=lim (x->2) ((x+1)(x-2))/(sqrt(4x+1)-3)=
=lim (x->2) ((x+1)(x-2))(sqrt(4x+1)+3)/((sqrt(4x+1)-3)(sqrt(4x+1)+3))=
=lim (x->2) ((x+1)(x-2))(sqrt(4x+1)+3)/(4x-8)=
=lim (x->2) ((x+1)(x-2))(sqrt(4x+1)+3)/(4(x-2))=
=lim(x->2 ((x+1)(sqrt(4x+1)+3)/4 =
=(2+1)(sqrt(4*2)+3)/4=3*6/4=18/4=9/2
29.5 lim(x->беск) ((5x+2)/(5x-1))^4x=
= lim(x->беск) (1+3/5x-1)^4x=
=lim(x->беск) (1+3/5x-1)^(((5x-1)/3)*(3/(5x-1))*4x)=
=e^(lim x-> беск (12x/(5x-1))=
=e^(lim x-> беск ((12x/x)/((5x/x)-(1/x))=e^(12/5)
Здесь в расчете применен второй замечательный предел
lim (x->беск) (1+1/x)^x=e
29.4) lim(x->0) 2x^2/(1-cos(16x))
используем первый замечательный предел
lim (x->0) (sin(x)/x)=1
для чего преобразуем исходную функцию
lim(x->0) 2x^2/(1-cos(16x)) =
=lim(x->0) 2x^2/2sin^2(8x)=
=lim(x->0) x^2/sin^2(8x)=
=lim (x->0) (8x/8sin(8x))^2=
=(1/8)^2=
=1/64