Задача на геометрическую прогрессию: Дан равносторонний треугольник со стороной 8 см. Из его высот построен второй треугольник. Из высот второго треугольника построен третий и т.д. Докажите, что периметры треугольников образуют геометрическую прогрессию, и найдите периметр шестого треугольника.

от

Вопрос пользователя:

Задача на геометрическую прогрессию: Дан равносторонний треугольник со стороной 8 см. Из его высот построен второй треугольник. Из высот второго треугольника построен третий и т.д. Докажите, что периметры треугольников образуют геометрическую прогрессию, и найдите периметр шестого треугольника.

Илюха отвечает:

Высота равностороннего треугольника вычисляется по формуле frac{sqrt3}2a. То есть, сторона каждого последующего треугольника – это сторона предыдущего, умноженная на постоянный множитель frac{sqrt3}2. То есть сторона n-го треугольника будет равна left(frac{sqrt3}2right)^{n-1}" title="aleft(frac{sqrt3}2right)^{n-1}" alt="aleft(frac{sqrt3}2right)^{n-1}" />. Периметр же n-го треугольника равен left.3acdotleft(frac{sqrt3}2right)^{n-1}right..

Имеем геометрическую прогрессию относительно периметров: первый её член равен 8*3=24, знаменатель прогрессии - left(frac{sqrt3}2right)^{n-1}.

Периметр шестого треугольника:

b_6=b_1cdot q^{n-1}=24cdotleft(frac{sqrt3}2right)^6=24cdotfrac{81}{64}=frac{3cdot81}{8}=frac{243}8 см.

Добавить свой ответ