Вопрос пользователя:
Завтра ГИА по алгебре,а я так не понимаю как решаются такие задачи.Помогите кто,чем может.
В трапецию ABCD вписана окружность,касающаяся боковой стороны АВ в точке М такой,что ВМ:АМ=1:16.Известно,что ВС=3,АВ=17.Найдите радиус окружности,касающейся прямых AD,CD и касающейся окружности,вписанной в данную трапецию.
Илюха отвечает:
В трапецию ABCD вписана окружность, касающаяся боковой стороны АВ в точке М такой,что ВМ:АМ=1:16.Известно,что ВС=3,АВ=17.Найдите радиус окружности,касающейся прямых AD,CD и касающейся окружности,вписанной в данную трапецию.
Обратим внимание на то, что окружность касается не сторон, а прямых.
Значит. она находится не внутри трапеции, а вне.
Сделаем рисунок. По свойству равенства отрезков касательных АМ=АЕ=16
ВМ=ВТ=1
ТС=СК=(3-1)=2
Найдем радиус вписанной в трапецию окружности.
Опустим из вершины В высоту ВН.
НЕ=ВТ=1
АН=16-1=15
Треугольник АВН прямоугольный. И отношение его сторон – из Пифагоровых троек.
ВН=8 ( можно проверить по т. Пифагора).
Радиус вписанной в трапецию окружности равен половине ее высоты. ОЕ=ОК=4.
Треугольник СОD – прямоугольный ( боковая сторона трапеции из центра вписанной окружности всегда видна под прямым углом).
Высота ОК этого треугольника ( радиус к СD в точку касания перпендикулярен) – среднее пропорциональное отрезков, на которое высота делит гипотенузу.
ОК² =СК*КD
16=2*КD
КD=16:2=8
В трапецию можно вписать окружность, если сумма противоположных ее сторон равна:
АВ+СD=BC+AD
17+10=3+24 – стороны найдены верно.
К – точка касания вписанной и вневписанной окружностей .
КD=DE=8
DP=DК по свойсву отрезков касательных.
ЕР=ЕD+DP=16
Проведем из центра О вписанной окружности к опущенному из центра О1 вневписанной окружности перпендикуляру на прямую АD отрезок ОХ параллельно ЕР.
ОЕ и О1Р – перпендикуляры.
ОХ|| ЕР. следовательно, ОХРЕ – прямоугольник.
ОХ=ЕР=16
Рассмотрим прямоугольный треугольник ОО1Х.
В нем ОО1- сумма радиусов двух окружностей ( оба перпендикулярны к общей касательной СD в одной точке)
Тогда ОО1 =R+r
О1Х=R-r
r=4
По т. Пифагора
(ОО1)²-(О1Х)²=(ОХ)²
(R+4)²-(R-4)²=16²
16R=16²
R=16
———
Как вариант – вневписанная окружность находится не сбоку от данной трапеции, а ПОД ней.
Тогда вторая половина решения ( после того, как найден отрезок KD=8) выглядит несколько иначе. Во втором рисунке дано решение из подобия четырехугольников КDEO и PDEO1. Разобраться в нем несложно.
———–
[email protected]