Вопрос пользователя:
Докажите, что если каждое из двух чисел представимо в виде суммы квадратов двух натуральных чисел, то их произведение также можно представить в виде суммы квадратов двух натуральных чисел.
Илюха отвечает:
Есть очень известная теорема Ферма-Эйлера, вот её формулировка:
Нечётное простое число представимо в виде суммы квадратов двух натуральных чисел тогда и только тогда, когда оно имеет вид
4k + 1 где k – нат. число.
Пусть наши числа х и y. Тогда по этой теореме
х = 4m + 1 , y = 4n + 1 (где n, m – нат. числа)
Рассмотрим произведение чисел х и y
хy = (4m + 1)(4n + 1) = 16mn + 4m + 4n + 1 = 4*(4mn + m + n) + 1 =>
обозначив выражение 4mn + m + n чрез некое натуральное число q имеем
хy = 4q + 1
тогда по этой же теореме произведение хy представимо в виде суммы квадратов двух натуральных чисел..