Вопрос пользователя:
Докажите, сто треугольник равнобедренный если биссектрисы углов при основании равны
Илюха отвечает:
В равнобедренном треугольнике биссектрисы, проведённые к боковым сторонам, равны.
Доказательство: Пусть ABC – равнобедренный треугольник (AC = BC), AK и BL – его биссектрисы. Треугольники AKB и ALB равны по второму признаку равенства треугольников. У них сторона AB общая, углы LAB и KBA равны как углы при основании равнобедренного треугольника, а углы LBA и KAB равны как половины углов при основании равнобедренного треугольника. Так как треугольники равны, их стороны AK и LB – биссектрисы треугольника ABC – равны. Теорема доказана.
Теорема d3. В равнобедренном треугольнике высоты, опущенные к боковым сторонам, равны.
Доказательство: Пусть ABC – равнобедренный треугольник (AC = BC), AK и BL – его высоты. Тогда углы ABL и KAB равны, так как углы ALB и AKB прямые, а углы LAB и ABK равны как углы при основании равнобедренного треугольника. Следовательно, треугольники ALB и AKB равны по второму признаку равенства треугольников: у них общая сторона AB, углы KAB и LBA равны по вышесказанному, а углы LAB и KBA равны как углы при основании равнобедренного треугольника. Если треугольники равны, их стороны AK и BL тоже равны. Что и требовалось доказать.