Вопрос пользователя:
Диагональ AC ромба ABCD равна (под корнем 2+ корень из 3 ), а угол при вершине C равен 30∘. Найдите площадь треугольника ACD
Илюха отвечает:
Начнем с того, что с применением тригонометрии эта задача решается элементарно. Если М – точка пересечения диагоналей, то MD = MC*tg(15);
Sacd = AC*MD/2 = (2+корень(3))*tg(15)/(2*2) = (2+корень(3))*(1 – cos(30))/(4*sin(30));
Sacd = (1 + корень(3)/2)*(1 – корень(3)/2) = (1 – 3/4) = 1/4;
Я так понял, что вся соль – решить задачу без применения тригонометрии.
Прежде всего, заметим, что расстояние между AD и ВС равно половине стороны ромба а (проводим высоту из точки D на ВС и вспоминаем про угол 30 градусов, высота ромба a/2). Отсюда расстояние от М до стороны ромба (любой) равно а/4; пусть МК перпендикулярно AD, AD = a; МК = a/4; MC = корень(2 + корень(3))/2 = m; MD = x; из подобия МКD и MDC имеем
m/a = a/(4*x); 4*x*m = a^2; но a^2 = m^2 + x^2;
4*x*m = m^2 + x^2; (x/m)^2 – 4*(x/m) + 1 = 0;
оставляем корень, при котором x/m < 1;
x = m*(2 – корень(3));
S = m^2*(2 – корень(3)) = (1/4)*(2 + корень(3))*(2 – корень(3)) = 1/4