Вопрос пользователя:
Диагонали четырехугольника АBCD взаимно перепендикулярны, АС=12, BD=15. Найдите площадь четырехугольника, вершинами которого являются середины сторон данного четырехугольника.
Илюха отвечает:
Четырехугольник, вершинами которого являются середины сторон данного четырехугольника – это прямоугольник, у которого стороны в два раза меньше заявленных диагоналей. Т.о. площадь равна 6 * 7,5 = 45 кв.см.
Это если только решить. Если доказывать, то я бы доказывала через подобие треугольников: Пусть середины отрезков АВ, CD и тд. – M, N, O, P. Тогда треугольник MBN подобен треугольнику АВС (угол В общий, AM=MB, BN=NC). AB_MB=AC:MN – из подобия. => MN=AC/2. Итак с 4мя треугольниками надо поступить.
Далее, чтобы доказать, что это прямоугольник, нужно обратиться к тому, что MN, NO и тд. параллельны AC и BD, которые между собой перпендикулярны.