Вопрос пользователя:
диагонали параллелограмма равны 4 и корню из 32 они пересекаются под углом 45 найти большую высоту
Илюха отвечает:
Половина меньшей диагонали равна 2, половина большей диагонали
(√32)/2 = √8 = 2√2
Рассмотрим треугольник, сторонами которого являются половинки диагоналей и меньшая сторона а, против которой лежит угол в 45⁰. Найдём меньшую сторону а параллелограмма по теореме косинусов:
а² = 2² + (2√2)² – 2·2·2√2·cos45⁰ = 4 + 8 – 8√2·(√2)/2 = 12 – 8 = 4
а = 2
Получилось, что меньшая сторона равна половине меньшей диагонали, тогда рассмотренный треугольник – равнобедренный и угол между меньшей стороной и половинкой большей диагонали равен 45⁰, тогда угол между меньшей стороной и меньшей диагональю равен 90⁰.
Рассмотрим теперь прямоугольный треугольник, образованный меньшей диагональю, меньшей стороной и большей стороной.
Его площадь равна половине произведения катетов, которыми являются меньшая сторона а = 2 и меньшая диагональ, равная 4.
Sтр = 0,5·2·4 = 4
Площадь параллелограмма равна удвоенной площади треугольника
Sпар = 2 Sтр = 2·4 = 8
Большая высота параллелограмма опущена на меньшую сторону.
Площадь параллелограмма также равна произведению стороны и высоты, опущенной на эту сторону
Sпар = а·h = 2·h = 8
h = 4