Вопрос от посетителя
Две окружности имеют общий центр. Докажите, что хорды большей окружности, касающиеся меньшей окружности, равны между собой.
Докажите, что отрезки общих внутренних касательных к двум окружностям одинакового радиуса в точке пересечения делятся пополам.
Отвечает Илюха:
Первое следует из того, что половина длины хорды и РАССТОЯНИЕ ДО хорды связаны теоремой Пифагора с радиусом окружности (ну, возьмите любую хорду, опустите на неё перпендикуляр из центра, и рассмотрите прямоугольный треугольник, у которого катеты – половина хорды и перпендикуляр к хорде, а гипотенуза – радиус). Поэтому хорды, РАВНОУДАЛЕННЫЕ от центра, имеют равные длины. А касательные к внутренней окружности как раз удалены от центра на равное расстояние – на радиус малой окружности.
Чтобы доказать второе утверждение, достаточно доказать, что линия центров делит внутреннюю касательную пополам (тогда она и вторую делит пополам :)). Если соединить центры окружностей и провести радиусы в точки касания внутренней касательной, то мы получим 2 прямоугольных треугольника с равными углами и катетами-радиусами, которые равны по условию. Этого достаточно,чтобы утверждать равенство треугольников. Откуда и следует, что линия центров делит внутреннюю касательную пополам. Значит, она и вторую делит пополам, значит – внутренние касательные пересекаются в своих серединах.