Вопрос от посетителя
Дан прямоугольный треугольник. Соотношение катетов 7/24. От гипотенузы этого прямоугольника проходит перпендикуляр, делящий треугольник на треугольник и четырёхугольник. Отрезок этого перпендикуляра заключённый в изначальном треугольнике равен 14 см. Известно что полученный четырёхугольник можно вписать в окружность. Нужно найти радиус этой окружности.
Отвечает Илюха:
Я уже решал тут такую задачу, не могу вспомнить номер.
Условие неоднозначно, ответ зависит от того, какой именно катет пересекает заданный перпендикуляр. Однако в любом случае, поскольку окружность касается трех сторон треугольника, то это – вписанная окружность.
Далее, я не стану каждый раз объяснять, почему отрезки касательных из одной точки до точек касания равны, а буду сразу использовать это, не поясняя (! – нарисуйте чертеж). Кроме того, если касательная параллельна радиусу, то расстояние от ЛЮБОЙ ТОЧКИ ЭТОГО РАДИУСА до этой (параллельной ему) касательной тоже РАВНО радиусу. Тоже не буду объяснять, а сразу пользоваться.
Обозначим х – некая мера измерения сторон прямоугольного треугольника, так что катеты будут 7*х и 24*х, отсюда сразу гипотенуза 25*х, радиус вписанной окружности r = (a + b – c)/2 = 3*x, отрезки, на которые точка касания делит гипотенузу – 4*x и 21*x.
Перпендикуляр к гипотенузе, касательный к вписанной окружности, можно провес ти 2 способами.
1). Пусть заданный перпендикуляр пересекает МАЛЫЙ катет.
Тогда его основание отстоит от вершины гипотенузы, общей с малым катетом, на
4*х – 3*х = х;
Отсеченный треугольник с катетами x и m=14 подобен исходному, то есть
x/m = 7/24; х = 49/12; r = 49/4;
2). Пусть заданный перпендикуляр пересекает БОЛЬШОЙ катет.
Тогда его основание отстоит от вершины гипотенузы, общей с БОЛЬШИМ катетом, на
21*х – 3*х = 18*х; (еще раз скажу – я уже объяснил раньше, почему это так! Рисуйте чертеж.)
Отсеченный треугольник с катетами 18*x и m=14 подобен исходному, то есть
18*x/m = 24/7; х = 8/3; r = 8;