Вопрос от посетителя
Дан правильный треугольник АВС со стороной, равной 3. Точка О- центр треугольника, ОМ-перпендикуляр к его плоскости,ОМ=1.Найти расстояния от точки М до вершин треугольника. а)корень(3) б)определить нельзя в)3 г)1 д)2
Отвечает Илюха:
В треуг.АВС проведем медианы( они же высоты) АК,СD,ВР
Рассмотрим треуг. АСК -прямоугольный,т.как АК-медиана и высота
АК делит сторону ВС пополам.
ВС=ВК+КС
ВК=КС=3:2=1,5 – катет
АС=3 – гипотенуза
Находим катет АК (теор.Пифагора):
АК2=АС2 – КС2
АК2=3*3 – 1,5*1,5
АК=корень из 6,75
АК=2,598
Точка О – центр пересечения медиан и делит медианы в отношении 2:1,начиная от вершины: АО:ОК=2:1
АО+ОК=3(части) – составляют 2,598
АО=2части, АО=2,598:3*2=1,732
Рассмотрим треуг.АОМ
ОМ-перпендикуляр,значит треуг.АОМ-прямоугольный
АО и ОМ – катеты, АМ – гипотенуза и расстояние от точки М до вершины А треуг.АВС
Находим АМ(теор.Пифагора):
АМ2=АО2+ОМ2
Ом=1;АО=1,732;
АМ2=1*1+1,732*1,732
АМ=корень из 4
АМ=2
Точка О – центр пересечения медиан и ,значит, О-центр описанной около треуг.АВС окружности.АО=ОС=ОВ – радиусы.Значит, точка М равноудалена от вершин треугольника АВС.Поэтому
Ответ : МА=МВ=МС=2
( К сожалению, не могу выполнить рисунок.По ходу чтения решения он у Вас получится).
Удачи!