Вопрос от посетителя:
Даны точки A и B такие, чо AB=a. Точка C определена равенством AC=3BC(векторы). Найдите геометрическое место точек M плоскости ( в зависимости от a), для которых |MA|^2+2|MB|^2+|MC|^2=20
Илюха отвечает:
АС = 3ВС, ВС = х, тогда х+а = 3х, х = а/2. Все три точки расположены на одной прямой АС.
Поместим начало координат в точку А. Тогда точки будут иметь координаты:
А(0;0), В(а;0), С(1,5а;0).
Выберем на плоскости произвольную точку М(х; у). Тогда:
МА^2 = x^2 + y^2
MB^2 = (x-a)^2 + y^2
MC^2 = (x – 1,5a)^2 + y^2
Тогда уравнение, приведенное в условии будет иметь вид:
x^2 + y^2 + 2x^2 – 4ax + 2a^2 +2y^2 + x^2 – 3ax + 2,25a^2 + y^2 – 20 = 0
Приведем подобные члены:
4x^2 + 4y^2 – 7ax + (4,25a^2 – 20) = 0 Или, поделив на 4 и выделив полный квадрат:
(x – (7a/8))^2 + y^2 = 5 +(13/64)a^2
Это уравнение окружности с центром в т. О( (7а/8); 0) и радиусом:
кор(5 +(13/64)a^2)