Вопрос пользователя:
В четырехугольнике ABCD известно, что АВ =2 , AD=5 и что стороны ВС, CD, AD касаются некоторой окружности, центр которой находится в середине AB, найдите длину ВС
Илюха отвечает:
Обозначим угол BAD = угол ADC = Ф; (я не стану растекаться на “доказательства” очевидных вещей, вроде равества этих углов, однако для себя вы должны понимать, как это делать). Пусть К – точка касания стороны АВ, P – BC, Q – CD, O – центр. Проводим ВМ и СL перпендикулярно AD (М и L лежат на AD), и BN II AD, N лежит на CL.
Пусть ОА = OD = a; AB = b; CD = c;
ML = BN = 2*a – (b + c)*cos(Ф);
CN = (c – b)*sin(Ф);
Из треугольника АКО АК = a*cos(Ф); само собой это равно QD;
BP = BK; CP = CQ; отсюда
ВС = (c + b) – 2*a*cos(Ф);
Теорема Пифагора для треугольника BCN
(2*a – (b + c)*cos(Ф))^2 + ((c – b)*sin(Ф))^2 = ((c + b) – 2*a*cos(Ф))^2;
4*a^2 – 2*a*(b + c)*cos(Ф) + ((c + b)*cos(Ф))^2 + ((c – b)*sin(Ф))^2 =
= (b + c)^2 – 2*a*(b + c)*cos(Ф) + 4*a^2*(sin(Ф))^2;
4*a^2*(sin(Ф))^2 – (c + b)^2*(sin(Ф))^2 + (c – b)^2(sin(Ф))^2 = 0;
4*a^2* – (c + b)^2 + (c – b)^2 = 0;
a^2 = cb;
Поэтому 35 = с*5; с = 7;