Вопрос от посетителя:
В треугольнике ABC AB=, BC=7, AC=15; K принадлежит AB, AK_AB=3:4; L принадлежит BC, BL_LC=4:3, KL пересекает AC в точке M
Найдите:
а) радиус окружности, вписанной в треугольник LMC
б) расстояние от центра этой окружности до точки A
Илюха отвечает:
К сожалению не проходят вложения. Попробую на словах.
а) Из т.К проведем отрезок КР // АС. Тр. ВКР подобен тр. АВС
ВК = АВ/4 (по условию). Значит КР = АС/4 = 15/4, ВР = ВС/4 = 7/4, но ВL = 4,
LC = 3. Тогда РL = 4 – 7/4 = 9/4.
Переходим к другой паре подобных тр-ов: KPL и LMC.
KP/CM = LP/LC 15/(4CM) = 9/(4*3) Отсюда: СМ = 5. Для нахождения последней стороны LM тр. LMC найдем cos LCM = – cosACB =
= – (BC^2 + AC^2 – AB^2)/(2BC*AC) = – (225+49-260)/210 = 14/210 = – 1/15.
Теперь по теореме косинусов найдем LM:
LM =кор(LC^2 + CM^2 – 2*LC*CM*cosLCM) = кор(9 + 25 + 2*3*5*/15) = 6.
Итак в тр-ке LMC известны все стороны:
MC = 5, LC = 3, LM = 6. Полупериметр: p = 7. Площадь по ф. Герона:
S = кор[7*(7-3)(7-5)(7-1)] = кор56. С другой стороны, S = pr, где r – радиус вписанной окр-ти . r = (кор56)/7 = (2кор14)/7
Ответ: r = (2кор14)/7.
б) Найдем координаты точки О – центра вписанной окр-ти, поместив начало системы координат в т.А и направив ось Х по AC.
т.О – точка пересечения биссектрис тр. LMC. Проведем ОN перпендик. СМ
ОN = r = (2кор14)/7.
Тр-к СОN: СN = ON/tg(LCM/2) tg(LCM/2)= sinLCM /(1+cosLCM) =
= (2кор14)/7.
Тогда CN = 1.
Итак точка О ( и весь вектор АО) имеет координаты (16; (2кор14)/7)
Длина вектора АО = кор[ 256 + 56/49] = (30кор14)/7
Ответ: АО = (30кор14) / 7.