Вопрос от посетителя:
а) Составьте каноническое уравнение гиперболы, асимптоты которой заданы уравнениями 2y-3x=7 и 2y+3x=1 и один из фокусов которой соврадает с одним из фокусов эллипса 7x^2+3y^2=21
б) Составьте каноническое уравнение параболы, фокус которой совпадает с левым фокусом гиперболы (см. а)), а вершина находится в правом фокусе гиперболы
Илюха отвечает:
а) Найдем точку пересечения асимптот: (центр гиперболы)
2у – 3х = 7
2у + 3х = 1 Сложим и получим 4у = 8 у = 2 х = – 1.
О(-1; 2) – центр гиперболы. Каноническое уравнение скорректируется:
(х+1)^2 / a^2 – (y-2)^2 /b^2 = 1.
Найдем а^2 и b^2.
Уравнение данного эллипса:
x^2 /3 + y^2 /7 = 1
Эллипс вытянут вдоль оси У и фокусы расположены на оси У на расстоянии:
Кор(7-3) = 2 от начала координат. Берем верхний фокус (0; 2), видим что он расположен на одном расстоянии от оси Х, как и центр гиперболы.
Пусть (0; 2) – правый фокус гиперболы. Расстояние до центра гиперболы равно 1.
a^2 + b^2 = 1
Еще одно уравнение для а и b получим из углового коэффициента асимптот. b/a = 3/2 ( 3/2 получится если в уравнении асимптоты выразить у через х). Итак имеем систему:
a^2 + b^2 = 1 13a^2/4 = 1 a^2 = 4/13
b/a = 3/2 b = 3a/2 b^2 = 9/13
Уравнение гиперболы:
13(x+1)^2 /4 – 13(y-2)^2 /9 = 1
б) Левый фокус гиперболы находится в т.(-2; 2), правый фокус –
в т. (0; 2).
Значит вершина параболы смещена на 2 относительно начала координат по оси У. Каноническое уравнение будет иметь вид:
(y-2)^2 = -2px (ветви влево!)
F = p/2 = 2 Отсюда p = 4
(y-2)^2 = -4x