Вопрос пользователя:
В треугольнике ABC проведены высоты BM и CN, O – центр окружности, касающейся стороны BC и продолжений сторон AB и AC. Известно, что BC=6, MN=3. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника BOC
Илюха отвечает:
Треугольники AMN и ABC подобные с коэффициентом |cos A|. Возможны два случая:
1) AM = AB cos A, AN = AC cos A, если угол A острый, то есть точки M, N лежат внутри сторон AC, AB;
2) AM = AB cos (180° − A) = −AB cos A, AN = AC cos (180° − A) = −AC cos A (косинус отрицательный), если угол A тупой, то есть точки M, N лежат на продолжениях сторон AC, AB;
в первом случае угол A у треугольников общий, во втором — углы при вершине A вертикальные.
Следовательно,
|cos A| = MN/BC = ½,
∠A = 60° или 120°.
Лучи BO и CO являются биссектрисами внешних углов треугольника ABC, поэтому
∠BOC = 180° − (∠OBC + ∠OCB) = 180° − ½(180° − ∠ABC + 180° − ∠ACB) =
= ½(∠ABC + ∠ACB) = ½(180° − ∠A) = 90° − ½∠A.
R(BOC) = BC/(2 sin BOC) = BC/(2 sin (90° − ½A)) = BC/(2 cos ½A).
Если ∠A = 60°, то R(BOC) = 12/(2 cos 30°) = 4√3.
Если ∠A = 120°, то R(BOC) = 12/(2 cos 60°) = 12.