Вопрос от посетителя
В трапецию с основаниями a и b можно вписать окружность и около этой трапеции можно описать окружность.Найдите радиус вписанной окружности.
Решите пожалуйста, только с подробным объяснением и не из решебника
Отвечает Илюха:
Подробно объясняю.
Если трапецию МОЖНО вписать В окружность, то она равнобедернная (параллельные прямые отсекают в окружности равные дуги, а равным дугам соответствуют равные хорды. То есть БОКОВЫЕ стороны трапеции равны.
Если ВОКРУГ трапеции можно описать окружность, то суммы противоположных сторон равны. (Это следует из свойств касательных к окружности, проведенных из одной точки. Каждая сторона равна сумме 2 таких отрезков. А суммы противоположных сторон равны сумме всех 4 разлиных отрезков касательных , проведенных из 4 различных вершин. Кстати, это работает не только на трапеции, но и на любом четырехугольнике, в который можно вписать окружность.)
Поэтому боковая сторона равна полусумме оснований.
А радиус вписанной окружности равен половине высоты (это уже совсем просто – окружность МЕЖДУ 2 параллельными касательными).
Осталось найти высоту.
Опустим перпендикуляр из вершины основания b на а. Расстояние от ближайшего конца а до основания этого перпендикуляра будет (a – b)/2;
Мы имеем прямоугольный треугольник со сторонами 2*r, (a – b)/2, (a + b)/2;
Находим отсюда r по теореме Пифагора.
4*r^2 = (a+b)^2/4 – (a-b)^2/4 = a*b;
r = корень(a*b)/2;