Вопрос пользователя:
В трапеции ABCD диагонали пересекаются в точке О, а их середины образуют отрезок MN = 6 см. Высота трапеции равна 10 см. Нижнее основание – 36 см.найти площадь треугольника MON.
Илюха отвечает:
Легко увидеть, что MN = (a – b)/2; в самом деле, MN – часть средней линии (назовем средины боковых сторон К и Р) КР = (a + b)/2; причем КМ и NP – средние линии в треугольниках АВС и BCD, и оба равны b/2; MN = (a + b)/2 – b = (a – b)/2;
a = 36; b = a – 2*MN = 24; (a + b)/2 = 30; S = 10*30 = 300
А, ну да, понадобилось еще и MON :(((( секунду.
Проведем через С прямую II BD до пересечения с продолжением AD. Пусть точка пересечения E. Полученный треугольник ИМЕЕТ ПЛОЩАДЬ, РАВНУЮ ПЛОЩАДИ ТРАПЕЦИИ. В самом деле, у него и трапеции общая высота (расстояние от С до AD) и ОДИНАКОВАЯ СРЕДНЯЯ ЛИНЯЯ. Основание полученного треугольника равно (a + b)
Легко видеть, что это треугольник, имеющий площадь 300 (! – уже вычислили), подобен MNO. Причем стороны относятся как MN/(AD + BC) = 6/60 = 1/10;
Поэтому площадь MNO составит 1/100 от площади трапеции, то есть 3 :)))))