Вопрос пользователя:
В ромбе ABCD из вершины тупого угла В к стороне AD проведена высота ВК и к стороне СD – высота ВР. Докажите равенство углов КВР и ВАD?
Илюха отвечает:
Проведём диагонали ромба АС и ВД. Обозначим точку их пересечения О. Треугольник СОД прямоугольный поскольку диагонали ромба перпендикулярны. Также прямоугольным является треугольник ВРД, поскольку ВР -высота. Они подобны так как имеют один равный острый угол СДВ. Следовательно углы РВД и ОСД равны. Но угол ОСД равен углу ОАД (диагонали ромба делят углы пополам). Следовательно угол РВД равен углу ОАД. Аналогично, из подобия треугольников ВДК и ОАД доказываем равенство углов ДВК и ОАВ. Поскольку сумма углов РВД и ДВК равна сумме углов ОАВ и ОАД следовательно углы КВР и ВАД равны.