Вопрос от посетителя
В РАВНОБЕДРЕННОМ ТРЕУГОЛЬНИКЕ БОКОВАЯ СТОРОНА РАВНА 10 А БИССЕКТРИСА ПРОВЕДЕННАЯ К ОСНОВАНИБ РАВНА 8. НАЙТИ РАДИУС ОКРУЖНОСТИ ВПИСАННОЙ В ТРЕУГОЛЬНИК И ОПИСАННОЙ ОКОЛО ЭТОГО ТРЕУГОЛЬНИКА
Отвечает Илюха:
Равнобедренный треугольник составлен из 2 египеских треугольников со сторонами 6, 8 , 10, приставленными друг к другу катетом 8. Длина основания 12, площадь 12*8/2 = 48; периметр 10 + 10 + 12 = 32;
радиус вписанной окружности равен
r= 2*S/P = 2*48/32 = 3;
радиус описанной окружности можно сосчитать по формуле R = a*b*c/(4*S); но в данном случае есть изящный способ. Продлим биссектрису за основание и из конца боковой стороны проведем перпендикуляр к боковой стороне до пересечения с продолжением биссектрисы (я её называю, как в условии). Расстояние от вершины треугольника до полученной точки равно диаметру описанной окружности (ясно, что на так построенной окружности окажутся все вершины заданного равнобедренного треугольника. Попробуйте-ка это доказать, хотя это почти очевидно. Если не выйдет, у вас всегда есть формула для R :)) Кроме того, полученный треугольник тоже подобен египетскому, но на месте катета 8 у него боковая сторона длины 10, поэтому гипотенуза его, (равная 2*R) равна 10*10/8;
R = 100/16 = 25/4;
см. рисунок