Вопрос от посетителя
в прямоугольном треугольнике АВС угол А=90 медиана АМ делит биссектрису СК в отношении 9/4 считая от вершины С. найдите tg угла С
Отвечает Илюха:
Обозначим О – точка пересечения биссектрисы и медианы. Пусть длина биссектрисы p, длина гипотенузы а, СО = q, обозначим так же за Ф половину угла С.
В силу того, что треугольник прямоугольный, медиана АМ равна половине основания, и треугольник СМА равнобедренный. Угол МАС = 2*Ф, поэтому угол МОС = 3*Ф, угол АМВ = 4*Ф.
Применим теорему синусов к треугольнику МОС
(a/2)/sin(3*Ф) = q/sin(pi – 4*Ф);
кроме того,
а*cos(2*Ф) = p*cos(Ф); (равно катету, который сторона угла ВАС)
Отсюда (просто делим одно на другое)
2*cos(2*Ф)*sin(3*Ф) = (p/q)*cos(Ф)*sin(4*Ф); поупрощаем немного
sin(3*Ф) = (p/q)*cos(Ф)*sin(2*Ф);
sin(Ф)*(3 – 4*(sin(Ф))^2) = (p/q)*2*(cos(Ф))^2*sin(Ф);
3 – 2*(1-cos(2*Ф)) = (p/q)*(1+cos(2*Ф));
cos(2*Ф) = (p/q – 1)/(2 – p/q); покольку угол ВСА и есть 2*Ф, то это ответ.
В случае, если p/q = 13/9 (так задано в условии),
cos(2*Ф) = 4/5;
а, ну да, надо тангенс… 3/4 будет тангенс…
треугольник подобен простейшему пифагоровому (со сторонами 3,4,5)
Если обозначить за d = q/(p – q); (то есть то самое отношение, которое по условию равно 9/4), то выражение для cos(2*Ф) можно привести к виду
cos(2*Ф) = 1/(d – 1);
что выглядит еще симпатичнее.