Вопрос от посетителя
в правильной треугольной пирамиде боковые грани наклонены к плоскости основания под углом 45 градусов . Расстояние от центра основания до боковой грани равно корень из 6 см. найти площадь боковой поверхности пирамиды.
Отвечает Илюха:
Сечение через вершину пирамиды и высоту основания. В сечении треугольник, одна сторона – боковое ребро, другая – высота боковой грани (апофема), “нижняя” – высота основания. Высота ПИРАМИДЫ является высотой этого треугольника, её основание делит “нижнюю” сторону на части в отношении 1/2, считая от апофемы. Угол между апофемой и “нижней” стороной задан – это 45 градусов (плоскость сечения очевидно перпендикулярна боковой стороне, поскольку есть 2 прямые в этой плоскости, перпендикулярные ей… на самом деле даже 3 навскидку – высота пирамиды, высота основания и апофема, но достаточно 2:)).
Итак. Перпендикуляр из основания высоты треугольника на боковую сторону равен корень(6). Поэтому расстояние от основания высоты до вершины равно корень(6)*корень(2) = 2*корень(3). А вся “нижняя” боковая сторона в 3 раза больше. Нас интересует так же апофема, она равна 2*корень(3)/(корень(2)/2) = 2*корень(6), это можно было увидеть и без вычислений – прямоугольные треугольники с углом 45 градусов – равнобедренные :)) и гипотенуза всегда равна удвоенной медиане; Осталось вычислить сторону основания. В равносторонем треугольнике высота 6*корень(3), значит сторона 12 (поделили на синус 60 градусов).
Sбок = 3*12*(2*корень(6))/2 = 36*корень(6);