Вопрос от посетителя
В наборе четыре гири весом 1, 2, 3 и 4 кг соответственно. Известно, что ровно одна из них фальшивая, но неизвестно, она легче или тяжелее настоящей. Можно ли за два взвешивания на чашечных весах найти фальшивую гирю и определить, легче ли она или тяжелее?
Отвечает Илюха:
Рассмотрим два проследовательных взвешивания: сначала сравним 2 гири 1 кг и 3 кг с одной 4 кг гирей, а затем – 2 гири 1 кг и 2 кг с одной 3 кг гирей.
Результаты представлены в следующей таблице:
==================================================
1 2 3 4 1+3 * 4 1+2 * 3 Вывод
==================================================
0,5 2 3 4 < < 1, легче
1 1,5 3 4 = < 2, легче
1 2 2,5 4 < > 3, легче
1 2 3 3,5 > = 4, легче
1,5 2 3 4 > > 1, тяжелее
1 2,5 3 4 = > 2, тяжелее
1 2 3,5 4 > < 3, тяжелее
1 2 3 4,5 < = 4, тяжелее
==================================================
где x + y * z означает операцию взвешивания (x и y на левой чаше весов, – z на правой). Если вес левой чаши оказывается меньше, чем вес правой, то мы обозначаем это как < в колонках 5 и 6; если больше - как >; если равен – как =.
Для определенности мы считаем, что вес фальшивой гири ровно на r = 0,5 кг легче или тяжелее, чем настоящей. Истинный вес указан в заголовке таблицы (верхняя строка, столбцы 1 – 4). Так для гири с точным весом в 1 кг запись 1,5 кг означает, что она фальшивая и тяжелее, чем настоящая 1 кг гиря. Для гири с точным весом в 3 кг запись 2,5 кг означает, что она фальшивая и легче, чем настоящая 3 кг гиря. И так далее. 8 нижних строк (колонки 1 – 4) таблицы дают все возможные комбинации, когда одна из 1 кг, 2 кг, 3 кг и 4 кг гирь – фальшивая, легче или тяжелее, чем настоящая. Выбранное значение r не влияет на результаты взвешиваний и выводы, которые мы делаем.
Результаты 2-х последовательных взвешиваний указаны в колонках 5 и 6.
Отметим, что все указанные там комбинации знаков <, > и = являются уникальными, т.е. нет двух строк таблицы с одинаковой комбинацией. Это и позволяет нам найти фальшивую гирю, и указать легче она или тяжелее, чем должна быть. Это и сделано в колонке 7.
Ответ: за два взвешивания на чашечных весах можно найти фальшивую гирю а также определить, легче ли она или тяжелее, чем настоящая.